MATEMÁTICA I

1-)QUE ES ÁLGEBRA Y ARITMÉTICAS:

En álgebra, para lograr la generalización, las cantidades se representan por medio de letras, las cuales pueden representar todos los valores. Así, a representa el valor que nosotros le asignemos, y por lo tanto puede representar 20 o mas de 20 o menos de 20, a nuestra elección, aunque conviene advertir que cuando en un problema asignamos a una letra un valor determinado, esa letra no puede representar, en el mismo problema, otro valor distinto del que le hemos asignado.

El álgebra es una rama de las matemáticas en la que se usan letras para representar relaciones aritméticas. Al igual que en la aritmética, las operaciones fundamentales del álgebra son adición, sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces. La aritmética, sin embargo, no es capaz de generalizar las relaciones matemáticas, como el teorema de Pitágoras, que dice que en un triángulo rectángulo el área del cuadrado que tiene como lado la hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados cuyos lados son los catetos. La aritmética sólo da casos particulares de esta relación (por ejemplo, 3, 4 y 5, ya que 32 + 42 = 52). El álgebra, por el contrario, puede dar una generalización que cumple las condiciones del teorema: a² + b² = c²

 El álgebra clásica, que se ocupa de resolver ecuaciones, utiliza símbolos en vez de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar dichos símbolos. El álgebra moderna ha evolucionado desde el álgebra clásica al poner más atención en las estructuras matemáticas. Los matemáticos consideran al álgebra moderna como un conjunto de objetos con reglas que los conectan o relacionan. Así, en su forma más general, se dice que el álgebra es el idioma de las matemáticas.

La aritmética trata de los números específicos, el álgebra, en cambio, con frecuencia formula proposiciones que son verdaderas para un número cualquiera. A este “número cualquiera” del que habla el álgebra, se le asigna un símbolo, digamos la letra x. Si se quiere hablar acerca de otros símbolos, y, z, etcétera.  El álgebra formula proposiciones como:  (x + y) (x- y) =  x²- y²; 

Esta proposición escrita en el lenguaje del álgebra se puede traducir al español como “la suma de dos números cualesquiera multiplicada por la diferencia entre los dos mismos números es igual a la diferencia entre los cuadrados de los dos números”. Esta proposición es verdadera para cualquier valor numérico que se represente con x y y; en otras palabras la expresión es verdadera para todos los números. En este sentido se puede decir que la aritmética formula proposiciones acerca de números específicos, mientras el álgebra puede formular proposiciones acerca de todos los números.  El álgebra también formula proposiciones tales como y = x + 3. Aquí se puede elegir cualquier número para  x, pero una vez elegido, sólo hay un valor de  y, para el cual la proposición es correcta. Si se específica que x = 2, la proposición es correcta sólo si y = 5. 

Los matemáticos describen esta situación diciendo que y es una función de x.  Si, y es una función de x, entonces x también es una función de y; y se dice que x y y están relacionadas funcionalmente. De hecho, una expresión como :  y =  x +3 es una función proposicional, que se convierte en una proposición sólo cuando los números específicos sustituyen a las variables x y y. una relación funcional entre dos magnitudes, se puede mostrar en un dibujo sobre un sistema de coordenadas (gráfica), como ejemplo tenemos: y = 3x² +7, o y = 3x + 7. 

Consideremos la proposición: x2 - 1 = 0.  Esta proposición es verdadera cuando  x = +1, y cuando x = -1. Los valores +1 y -1 se denominan raíces de la ecuación de segundo grado debido a la presencia del término x elevado al cuadrado. Sin embargo no es posible encontrar números ordinarios  que satisfagan la ecuación:  x2 + 1 = 0. Estas ecuaciones definen una nueva clase de números, que no se encuentran directamente en el mundo físico de la experiencia cotidiana. Estos nuevos números necesitan de símbolos que los representen (+i, -i). 

Este paso se dio en el siglo XVI. Los nuevos números se denominaron números imaginarios. Es verdad que son imaginarios, pero lo son también todos los números en el sentido de que son abstracciones hechas por el cerebro. La opinión actual considera a los números imaginarios como invenciones que  satisfacen una necesidad descubierta. Los números imaginarios fueron inventados para satisfacer una necesidad puramente matemática; ya que no había preocupación alguna por la utilidad que pudieran tener para describir el mundo físico. 

Desde entonces los físicos han encontrado muy útiles los números imaginarios para
describir el mundo físico 

 : 2-)NOTACIÓN ALGEBRAICA

    En forma sencilla podemos decir que el álgebra es una rama de las matemáticas que estudia las cantidades de una forma muy general, es decir en el álgebra se utilizan símbolos (generalmente letras) para representar cualquier valor posible, a diferencia de la aritmética por ejemplo que usamos números para representar sus respectivos valores. Se entiende mejor si ponemos un ejemplo:

     En aritmética usamos el numero 20 y sabemos que representa a veinte. En álgebra podemos usar la letra a y esta representará cualquier valor que le asignemos, puede ser 20 o 30 o quizá 6.78 o cualquiera que se nos ocurra. Esta forma de expresar las cantidades tiene el nombre de Notación algebraica.

     En álgebra se utilizan símbolos para representar las cantidades, los números se se usan para representar las cantidades determinadas por ellos y las letras para cantidades desconocidas. También usamos los signos de operación que ya conocemos +,-,/,= etc.

Ejemplos: 

a             puede tomar cualquier valor numérico.

3a           es el triple de la cantidad a o a multiplicado por 3 como quiera verse.

7b^{2}   representa a 7 veces la cantidad b elevada al cuadrado.

Veamos ahora algunos signos de operación, relación y agrupación.

Operación

Entre los signos de operación tenemos los siguientes: suma, resta, multiplicación, división, exponente y raíz entre los más conocidos. En la multiplicación de dos cantidades suele usarse un "punto" ⋅ en vez de usar la típica x que usamos en aritmética, o de otra manera algunas veces se omite este punto y se colocan las letras o variables juntas lo que indica que estamos hablando de una multiplicación. Ejemplos:

a+b,a−b,ab,ab,a3,a−−√.

Relación

Algunos signos de relación son :

= igual a, > mayor que, < menor que,etc.
a>b, a<b, a=b

Agrupación
Los signos de agrupación son los paréntesis (), corchetes [], o las llaves {}.
3{5a[67(a+b3)−ba]+(a+b)3}.

3-)EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sí­ por los signos de las operaciones aritméticas como sumas, diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raí­ces.

Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:

         

Si x es una variable, entonces un monomio en x es una expresión de la forma axⁿ, en donde a es un numero real y n es un entero no negativo.   Un binomio es la suma de dos monomios que no se pueden simplificar y un trinomio es la suma de tres monomios que no se pueden simplificar.

Recuerda siempre que un monomio tiene solo un término, un binomio dos términos y un trinomio tres términos.

 4-)CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS:

De acuerdo al número de términos, las expresiones algebraicas se pueden clasificar generalmente en monomios y polinomios.

MONOMIO:

Es una expresión algebraica que consta de un solo término, por ejemplo, 12m⁴, - a² b , 

POLINOMIO:

Son expresiones algebraicas que constan de dos o más términos.

Ejemplo:

a. x+y+z

b. 9m² - 16n⁴

c. 2x⁴ + 5x⁵ - 54x – 135

Los polinomios de dos términos reciben el nombre especial de BINOMIOS.

Ejemplos de binomios:

a. x² - y²

b. a⁴ b⁵ + 3 a² b² c⁷

Los polinomios de tres términos reciben el nombre de TRINOMIOS.

Son ejemplos de trinomios:

a. x² - 10x + 25

b. ab³ + 5a² b⁷ m – 35 abx⁵

ACLARACION IMPORTANTE:

En algunos modernos libros de álgebra, el concepto de polinomio varía mucho del concepto tradicional que acabamos de mencionar.

Veamos este concepto moderno:

“La condición para que una expresión sea polinomio es que todos los exponentes de la variable sean enteros y positivos”

En cambio, la expresión 2x⁵ es un polinomio de acuerdo a la expresión dada, pues su exponente es entero y positivo.

Así también, la cantidad 5 es un polinomio, pues este número lo podemos expresar como 5x0 donde vemos que el exponente es entero y no es negativo. 

 

5-)LEYES DE LOS SIGNOS:

               LEYES DE LOS SIGNOS

Las leyes de los signos para la multiplicación son las siguientes:

En resumen podemos decir que cuando multiplicamos signos iguales (más por más; menos por menos) nos da como resultado un número positivo (+). Cuando multiplicamos signos diferentes (más por menos; menos por más) tenemos como resultado un número negativo.

las leyes de los signos para la división son las siguientes:

Para la división es lo mismo: Cuando dividimos entre signos iguales (Más entre Más; menos entre menos) tenemos como resultado un número positivo. Cuando dividimos signos diferentes (más entre menos; menos entre más) tenemos como resultado un número negativo.

Un número positivo se representa como un número ordinario con un signo más delante: +4, +7/11, +21,4, etc.

las leyes de los signos de la suma son los siguientes:

.- Si sumas números positivos con números positivos quedan positivo.2.- Si sumas números negativos con números negativos quedan negativos.3.- Si sumas números positivos con números negativos el signo que queda es el del entero mayor. Ejemplo:  -6+15= +9                -16+4= -1

En  matemáticas,  la  palabra  signo  se  refiere  a  la propiedad  de  ser  positivo  o  negativo. Todos  los  números enteros  distintos  de  cero son positivos o negativos, y tienen por tanto un signo. Lo mismo ocurre para los números racionales o reales distintos de cero (para los números complejos no puede definirse un signo global, sólo signos para las partes real e imaginaria, ya que no son un conjunto que admita un orden compatible con la multiplicación).

El signo de un número se representa con los signos más y menos, «+» y «−». La palabra «signo» también se utiliza para referirse estos símbolos matemáticos, entre otros (como el signo de multiplicación).

EJEMPLOS

 * SUMAS:              *DIVISIÓN             *  MULTIPLICACION                                                                                                       

    1+1=2                     2/1=2                         8x5=40

                                 
    4+7=11                  5/5=1                          9x5=45

    2+1=3                    8/2=4                           5x6=30

                                   
    5+5=10                 4/2=2                           7x7=49
                                 

    4+4=8                  10/2=5                          9x2=18
 

     2+2=4                  12/4=3                         3x9=27

    

     3+3=6                  24/8=3                         6x9=54

               

   6+6=12                  30/5=6                          4x3=12

     

 17+76=93               40/8=5                          1x9=9

         

  11+2=13                90/10=9                       2x7=14